Des mesures entières pour des triangles rectangles

Samedi 27 septembre 2008 6 27 /09 /2008 11:13

Des mesures entières pour des triangles rectangles

De même que l'on connaît différentes preuves pour des opérations ou des propriétés
(preuve par neuf*, égalité des produits en croix)
il existe des preuves en rapport avec le domaine de la géométrie.

Preuve que deux figures ont bien la même forme (approximativement, ou exactement)
par exemple (en vérifiant la proportionnalité des distances entre des points correspondant)

Il existe ainsi une preuve permettant d'établir qu'un triangle de mesures données
possède un angle obtus ou non, ou même un angle droit.

Je donne ici une liste de mesures pour lesquelles le triangle associé est droit.

Sur chaque ligne, la valeur de la seconde colonne est obtenue en multipliant la valeur de la première colonne par le numéro de la ligne et en ajoutant 1 au résultat.

Quant au nombres de la première colonne
...
voilà une question pour Kevin (sourire)²

Car il se trouve que cette suite de nombre, pourtant tout à fait remarquables, n'est pas encore inscrite** dans le bréviaire des suites qu'est The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Deux détails remarquables :

- la définition de la suite se réduit à une expression assez simple
- Il y a une bonne densité de nombres premiers dans les nombres de la troisième colonne (mais 4 sur 10 sont des multiples de 5)
Nombres dont la valeur est, N étant le nombre situé dans la première colonne et n le numéro de ligne,

(N² + (nN+1)²) ^0.5

La définition de la suite qui donne le nombre en colonne 1
et du nombre qui se trouve en colonne 2
permettent de prouver que la somme des carrés de ces nombres
est bien elle même un carré parfait.

Cette suite génère donc une série particulière de "nombres de Pythagore"

Voir pour la génération des nombres de Pythagore l'excellent article du
coin des amatheurs

http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=nombrespytha

Ainsi que l'article (site de Xavier Hubaut, professeur émérite - Université Libre de Bruxelles )

Nombres et théorème de Pythagore

*Voir ici

** C'est fait

A144965

a(n)= 4*n*(4*n^2+1).

+10
1

0, 20, 136, 444, 1040, 2020, 3480, 5516, 8224, 11700, 16040, 21340, 27696, 35204, 43960, 54060, 65600, 78676, 93384, 109820, 128080, 148260, 170456, 194764, 221280, 250100, 281320, 315036, 351344, 390340, 432120, 476780, 524416, 575124 (list; graph; listen)

	OFFSET	`0,2`
	COMMENT	`(a(n))^2 + (n*a(n)+1)^2 is always a perfect square.`
	LINKS	`Luc Comeau-Montasse, Des mesures entieres pour des triangles rectangles`
	EXAMPLE	`Example : n = 181 , a(n) = 94876580 (94876580^2 + (94876580*181 + 1)^2) = 17172923069.`
	KEYWORD	`easy,nonn,new`
	AUTHOR	`Luc Comeau-Montasse (lebateleur2(AT)gmail.com), Sep 27 2008`

Par Comeau-Montasse - Publié dans : Geombre - Communauté : Mathématiques
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