Triangles rectangles en nombre (très vieille définition)

Un livre de 1676 est entièrement par Bernard Frénicle consacré aux triplets de nombres entiers en rapport avec le théorème de Pythagore.

Cet ouvrage étudie les groupes de trois nombres entiers auquels correspond un triangle rectangle et qui satisfont donc à la relation que donne le manuel Sesamath de quatrième sous la forme

Et que présente ainsi le "Manuel élémentaire de géométrie" de Hugo Boss

(Cette démonstration très rapide suppose des connaissances
que l'on ne voit plus au collège, en rapport avec la notion de "projection")

L'auteur commence par y donner la définition de ces triplets auxquels il donne le nom (curieux) de "triangle rectangles en nombres"

La contraposée du théorème de Pythagore a donc un énoncée particulier du point de vue des nombres entiers.


	Ce qui peut se traduire part : Si la somme des carrés de deux nombres n'est pas un carré, il n'existe pas de triangle rectangle dont deux les deux côtés de l'angle droit auraient pour mesure ces deux nombres et qui serait associé à un triangle rectangle en nombre.

La propriété n'est qu'une conséquence directe de la contraposée (la contraposée générale, c'est à dire celle qui ne concerne pas que les nombres entiers) du théorème de Pythagore.

si AB² + BC² n'est pas un carré (parfait)

Alors il ne peut pas exister de triangle dont le carré l'hypoténuse serait un carré parfait puisque cette valeur d'après Pythagore vaut AB² + BC².

Dans la suite, l'auteur affirme que si l'on multiplie par un même nombre entier des "triangles rectangles en nombre" les valeurs obtenues ont la même propriété.

Démonstration assez aisée car si

AB, BC et AC sont entiers et que

AB² + BC² = AC²
et que n est un nombre entier, alors

(nAB)² + (nBC²) = nAB x nAB + nBC x nBC
= n²AB² + n²BC²
= n²(AB² + BC²)
= n²AC²
or ce nombre est le carré parfait de nAC

Ce qui n'est qu'une conséquence de la proportionnalité
Puisqu'en multipliant par un même nombre les trois côtés d'un triangle
on obtient un triangle semblable au premier
et donc rectangle si le premier l'était.

Pour terminer voici quelques définitions de l'auteur parmi lesquelles on trouve l'hypoténuse (défini comme le grand côté) et étrangement l'aire du triangle défini sans explication comme le demi produit des deux côtés de l'angle droit.

Roland Dassonval chasseur de triplets de Pythagore (ceux que l'auteur nomme "Triangles rectangles en nombre") nous propose une carte (la chasse est ouverte toute l'année) indiquant les endroits giboyeux.

Clique sur son image pour y accéder

Pour les rechercher à la main : un autre outil de la même production ici (merci Roland)

(en marge)

La suite A144965 permet de générer des triplets de nombres qui ont cette propriété

Elle est définie par :

a(n)= 4n(4xn²+1).

Et donne une famille infinie de ces triplets que Frénicle nomme
"triangle rectangle en nombre"

a(n)² , (na(n)+1)² et racine carrée de (a(n)² + (na(n)+1)²)

Si on choisit par exemple
n = 180
On obtient les trois nombres
94876580 , 17172660980 et 17172923069

Pour lesquels le triangle associé est rectangle
(mais difficile à construire, car presque "plat" )

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