Sur la piste des nombres premiers...Identités remarquables, Pythagore - solution

Mardi 30 décembre 2008 2 30 /12 /2008 22:47

Sur la piste des nombres premiers...Identités remarquables, Pythagore - solution

suite de http://www.geombre.com/article-26224400.html

Comme on le voit dans le tableau que je t'avais donné, il y a une certaine régularité dans les diviseurs "les plus grands qui sont en même temps les plus proches"* de tous les nombres obtenus à partir d'un entier, en soustrayant 1 à son carré
C'est à dire tous les nombres N² - 1
...

Il semblerait en effet que, pour tous les nombres de ce tableau, les deux multiples en question soient,
le nombre précédent N (c'est à dire N + 1)
et
le nombre qui suit N (c'est à dire N - 1)

Autrement dit,
Le nombre obtenu en soustrayant un au carré d'un nombre choisi
serait égal
au produit du nombre précédent le nombre choisi et du nombre suivant ce nombre choisi.

Ce qui, en langage mathématique s'écrit (bien plus simplement n'est-ce pas ?)

Si N est un nombre entier,
alors
N² - 1 = (N - 1) x (N + 1)

Si tu connais les identités remarquables
(que je t'avais suggéré d'aller regarder ici sur le manuel sesamath 3ème** )
le rapprochement est immédiat avec

Il suffit de prendre a = N (notre nombre entier) et b = 1

On a alors (N + 1) (N - 1) = N² - 1² = N² - 1

Ce Qu'il Fallait Démontrer

Bien sur, en développant l'expression
(N - 1) x (N + 1)
tu aurais pu trouver ce résultat remarquable.

Et donc,
on sait sans vérifier plus avant
qu'aucun des nombres obtenus en
soustrayant 1 au carré d'un nombre entier
n'est un nombre premier
...
sauf 2 bien sur
puisque 2-1 = 1
et que donc
N² - 1 = 3 x 1 = 3
pour N = 2

...

Sans se décourager sur notre traque des nombres premiers

- un chasseur doit avoir des qualités d'obstination et de ténacité -

on pourrait maintenant se préoccuper des Nombres obtenus en
ajoutant 1 au carré d'un nombre entier

Sont-ils (tous, aucun, quelques-uns) premiers ?

à toi de jouer ...

Pour finir, à propos de la conjecture (voir ici )

Il n'existe pas de nombre N s'écrivant 21....1
tel que N soit premier.

On peut chercher assez loin et penser que cela suffit.

Pas du tout !

Et tu as là un excellent exemple du fait qu'une propriété relativement remarquable peut être vérifiée pour une centaine de valeur consécutive, et s'avèrer fausse par la suite.

C'est le cas ici, puisque le nombre qui s'écrit

211 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111

C'est à dire un 2 et cent trente deux 1
est un nombre premier

Alors que si nous avions fait la même recherche avec des 3 à partir de 211
nous aurions obtenu
dès le premier essai : 2 113 qui est premier

puis 213 333 , 2 133 333 et 21 333 333 333 333 333

Qui le sont aussi

Et surtout, ne cherche pas de régularité
(par exemple dans le nombre de 3
pour obtenir un nombre premier construit ainsi) !
d'autres que toi (et moi) y on consommé des nuits entières

et les vacances
c'est fait pour se reposer***

* Si quelqu'un a une autre formulation, ... elle est la bien venue.
** Il est parfois plus pratique de le feuilleter directement pour voir l'ensemble des méthodes concernées.
*** Avec bien sur, les quelques devoirs de vacances pour les élèves, et quelques paquets de copies pour les profs (sourire)²

Par Comeau-Montasse - Publié dans : Recherches - Communauté : Mathématiques
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