Géométrie : démonstration courte ... mais bonne

Lundi 9 février 2009 1 09 /02 /2009 11:37

Géométrie : démonstration courte ... mais bonne

Le principal objectif de l'enseignement à l'école primaire et au collège est
la maîtrise optimale des auxilaires (et prérequis) de la pensée.
Il s'agit en particulier des langages.
Lequels doivent être fins, denses, et capable de gérer
autant les ambiguités irréductibles que la présence de contextes susceptibles de perturber le sens établi
sens nécessairement maléable dans les premières étapes de l'apprentissage.

L'acquisition précoce de techniques en rapport avec les différentes matières enseignées par la suite, qu'elles soient générales ou professionnelles, est une erreur similaire à celle qu'ont pu faire en sport, par le passé de grands entraîneur
(notamment au football et au tennis)
et dont nous sommes heureusement en grande partie revenus.

complément

La démonstration en géométrie est source de difficulté pour beaucoup
(et pas seulement pour des élèves ... demandez aux parents qui les assistent dans les devoirs)

Je propose ici une démonstration d'une grande simplicité et qui produit pourtant un résultat important

à savoir l'endroit où l'on doit poser un triangle pour qu'il soit en équilibre en un point.


	Sur une pointe	ou	au bout d'un fil

Ici encore, mais pas cette fois-ci pour montrer l'impossibilité de suivre une démonstration de cette manière, tout au contraire, je vais donner la démonstration exclusivement "en mots" et, si on se souvient de la définition de la hauteur* celle-ci est assez immédiate et facile à suivre (plutôt pour les adultes ayant une bonne maîtrise de la langue, mais il n'est pas interdit aux élèves de s'y confronter.).

Démontrons d'abord que la médiane d'un triangle le partage en deux triangles d'égales surfaces.

La médiane** d'après sa définition, partage un côté du triangle en deux parties égales qui sont chacune le côté d'un des deux triangles que cette médiane définit (il est important que tu te fasses une figure dans la tête***), ces côtés étant portés par une même droite, leur distance au sommet (égale à la hauteur du triangle*) est la même.

Or, l'aire d'un triangle dépend d'un côté et de sa hauteur**** les deux triangles définis par la médiane ayant même hauteur et même (longueur de) côté, ils ont la même aire.

Si on recommence ce raisonnement une fois, on en déduira que leux médianes partagent la surface d'un triangle en deux triangles de même surface.

Sur un couteau, le triangle serait en équilibre si on le pose sur une de ces deux médianes
sur une pointe, l'équilibre est donc obtenu au point d'intersection de ces médianes.

Accessoirement on en déduit que cette démonstration ne dépendant pas des deux médianes choisies (sur les trois) la troisième passe nécessairement par le même point (il n'y a qu'un point d'équilibre. C'est à dire d'équi-répartition de la matière du triangle autour de lui.
d'où :

"Les trois médianes d'un triangle sont concourantes."

(point B de la figure "au bout d'un fil")

Pour les élèves :

Bien évidement la démonstration est plus simple avec une figure pour appuyer sa pensée.

Pour cela nous allons utiliser Trace en Poche

I est le milieu de [BC] donc BI = IC
[AH] est une hauteur commune aux triangles AIB et AIC

D'où :
l'aire de AIB est AH x IB / 2
et
l'aire de AIC est AH x IC / 2
BI = IC permet de conclure que
ces deux aires sont égales.
et donc :

La médiane d'un triangle le partage en deux parties de même aire.

En refaisant le même raisonnement pour une autre médiane on arrive à la conclusion que :

Les médianes d'un triangle se coupent en un même point.

(ce qui se dit "sont concourantes")

et donc

Le centre de gravité***** d'un triangle
est au point de concours de ses médianes.

Pour éprouver cela avec Trace en Poche

clique droit sur la figure précédente pour ouvrir dans un nouvel onglet

Le script de la figure est ici (ce qui est en vert, à recopier dans la partie Script de trace en poche)

	Script
	@figure; A = point( -3.97 , 4.53 ) { violetfonce , car+3 }; B = point( 6.37 , 3.93 ) { violetfonce , car+3 }; polyABC = polygone( A , B , C ) { 3 }; C = point( -2.47 , -3.33 ) { violetfonce , car+3 }; I = milieu( B , C ) { violetfonce }; sAI = segment( A , I ) { 3 }; sCB = segment( C , B ) { rouge , 3 }; perpAsCB = perpendiculaire( A , sCB ) { 7 }; H = intersection( sCB , perpAsCB ) { violetfonce }; sAH = segment( A , H ) { vertfonce , 3 }; sIB = segment( I , B );
	Analyse
	aire(ABC) = 40.19 aire(ABI) = 20.09 aire(AIC) = 20.09

(On voit dans la case d'analyse qu'avec la figure tracée les aires des deux triangles que définit la médiane ont même aire*)

* En fait, il s'agit d'une hauteur , puisqu'un triangle en possède trois.
** Même chose que *
*** Avec : le triangle de départ, une médiane, celle-ci passe par un sommet, coupe le côté opposé en son milieu, et découpe donc le triangle en deux triangles ayant deux côtés égaux
**** La formule est ici
***** Point d'équilibre

Par Comeau-Montasse - Publié dans : démonstration - Communauté : Mathématiques
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