Triangle donné par ses trois côtés ... et quadrilatère (ce qui change).

Jeudi 12 février 2009 4 12 /02 /2009 11:42

Triangle donné par ses trois côtés ... et quadrilatère (ce qui change).

Pour compléter ce qui a été dit à propos d'un triangle donné par ses trois côtés
il faut préciser un peu

Du point de vue du triangle, la construction donnée le montre bien (sans que ce soit véritablement une démonstration*)

Ici, il est difficile de faire "bouger les articulations" des trois règles

Il n'en est pas de même pour une figure à quatre côtés.

Comme on peut le voir par exemple en utilisant le joli outil de Vince qui permet de fabriquer des quadrilatères ayant des propriétés données.

Avec les côtés de même longueurs

Toujours avec les côtés de même longueurs

Ici, ces trois quadrilatères (qui sont en fait des parallèlogrammes puisque j'ai choisi des côtés opposés de même longueur) sont différents et pourtant leurs côtés sont respectivement égaux.

(Pour voir par toi-même clique sur une figure et tu pourras utiliser l'outil de Vince)

Un quadrilatère n'est pas entièrement défini par la longueur de ses quatre côtés.

Ce que nous avons démontré pour le triangle n'est donc pas si trivial (évident) !
Et méritait bien une véritable démonstration*.

* Pour démontrer cela il suffit d'évoquer l'intersection des deux cercles dont le rayon sont respectivement le second et le troisième côté :

Ainsi, si on donne AB = l₁ ; BC = l₂ ; AC = l₃

Je trace le premier côté [AB] de la longueur donnée l₁
(Je sais que :) Le troisième point du triangle ( le point C ) est à la distance l₂ de A et à la distance l₃ de B.
(or ) l'ensemble des points à une distance donnée d'un point donné est le cercle dont ce point est le centre et dont le rayon est cette distance (définition du cercle).
(donc) C est sur l'intersection de deux cercles.
Le premier ayant pour centre B et rayon l₂ , le second ayant pour centre A et rayon l₃
(or **) deux cercles lorsqu'ils se coupent le fond en deux points (***)
donc il y a deux figures possibles.

or d'après la construction, la droite (AB) est axe de symétrie de la figure (propriété de la symétrie axiale)
(or) une symétrie conserve les distances et les anges (propriété de la symétrie axiale)
donc ces deux triangles ont les angles et les côtés égaux, ils sont égaux.

(Ici je détaille au maximum les enchaînements et les propriétés (le fameux "or") utilisées. On peut bien sur faire un peu plus court sans perdre trop de points dans un contrôle (sourire)²)

** Oui Valentine, parfois dans une démonstration, il y a des rebonds de "or" (sourire)²

*** A condition que ... voir inégalité triangulaire (programme de cinquième)
La limite entre "se couper" et "ne pas se rencontrer" étant "se toucher" qui correspond à l'égalité dans cette fameuse inégalité triangulaire.

Par Comeau-Montasse - Publié dans : Geombre - Communauté : Mathématiques
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