Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée - rectangle

Ce pourrait être un problème du brevet, il est en rapport direct avec la notion de fonction.

Monsieur Voué a un pêché dont il a donné la moitié à son voisin* mais c'est d'une autre de ses propriétés que nous allons parler.

Ce qui nous préoccupe ici c'est son petit champ carré qui s'appuie sur un mur de 10 m de long et que monsieur Voué voudrait bien entourer.

Malheureusement il ne dispose que de 10 m de cloture
(un rouleau de 10m de grillage).

Il décide donc d'utiliser au mieux ces dix mètres en se servant de son mur et d'entourer le rectangle le plus grand possible.

Cela donne différentes solution, dont tu peux voir quelques unes sur l'animation ci-dessous :

Le mur est ici le segment [AB]
Je n'ai pas représenté tout le champ
c'est inutile avec ce qu'on a de clôture on ne peut arriver qu'à la moitié de sa seconde dimension.

Suivant la manière dont on utilise la clôture pour les deux côtés perpendiculaires au mur, il reste plus ou moins de longueur pour le troisième.

Et l'aire du rectangle dépend de ces mesures on dira "est fonction" de (ici fonction du premier côté choisi).

En faisant varier la longueur de MM',
on définit aussitôt NN' (qui a la même longueur)
ce qui reste alors est utilisé pour le troisième côté.

Si on nomme x la longueur NN'
on a donc MM' = x (même longueur)
et
M'N' = 10 - ( x + x )
C'est à dire M'N' = ...

Connaissant les deux dimensions du rectangle
(longueur et largeur)
on peut donc calculer l'aire de la figure correspondante.

(2 fois le côté 1 + le côté 2 correspond à la totalité de la clôture
c'est à dire à 10 m)

Ce tableau tu peux le réaliser avec un tableur
il te permettra de trouver la meilleure figure possible
pour une aire optimale.

Tu peux également tracer la figure avec Trace En Poche
en utilisant le script ci-dessous.

@options;

@figure;
A = point( -5 , 6 ) { fixe , car+4 };
B = point( 5 , 6 ) { fixe , car+4 };
sAB = segment( A , B ) { grisfonce , 3 };
I = milieu( sAB ) { bleuciel };
sAI = segment( A , I );
sIB = segment( I , B );
M = pointsur( sAI , 0.98 );
ceMA = cercle( M , A ) { bleuciel };
perpMsAB = perpendiculaire( M , sAB ) { bleuciel };
M'1 = intersection( perpMsAB , ceMA , 1 ) { bleuciel };
M' = intersection( perpMsAB , ceMA , 2 );
N = symetrique( M , I );
perpM'perpMsAB = perpendiculaire( M' , perpMsAB ) { bleuciel };
perpNperpM'perpMsAB = perpendiculaire( N , perpM'perpMsAB ) { bleuciel };
N' = intersection( perpM'perpMsAB , perpNperpM'perpMsAB );
sMM' = segment( M , M' ) { 3 };
sM'N' = segment( M' , N' ) { 3 };
sN'N = segment( N' , N ) { 3 };
sMM'1 = segment( M , M' );
sM'N'1 = segment( M' , N' );
sN'N1 = segment( N' , N );

@analyse;
aire(MNN'M') = 1.16
périmètre(MNN'M') = 10.24

Les lignes de la partie analyse te permettent d'obtenir directement la valeur de l'aire du rectangle qui est enclôt.

(solution en commentaire )

* Dans le village on dit souvent pêché à Voué, à demie part donnée ! (sourire)²

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