Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée - triangle

Samedi 28 février 2009 6 28 /02 /2009 11:51

Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée - triangle

J'ai évoqué un problème qui pourrait très bien illustrer la notion de fonction et, dans un brevet des collèges un peu ambitieux, donner quelques questions nécessitant de la réflexion autant que du calcul.

Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée

Avec une recherche du côté du rectangle d'aire optimale.

Une version un peu plus difficile est celle où monsieur Voué choisit de clôturer un espace triangulaire.

Plus difficile notamment parce qu'il comporte deux variables comme on pourra s'en rendre compte en regardant les deux animations ci-dessous.

Ici on choisit pour l'un des morceaux de la clôture (un des côtés du triangle qui s'appuie sur le mur) la valeur 5,22m (AQ)
L'autre côté mesure donc 4,78m (10m de clôture en tout).
Mais cela ne détermine pas entièrement le triangle puisqu'on peut faire varier les angles.
Ici, en déplaçant (sur trace en poche) le point P, on peut faire varier l'ange en A.

On voit que l'aire du triangle commence par augmenter, puis diminue progressivement jusqu'à devenir voisin de zéro.

Pour ce second cas, on choisit pour l'un des morceaux de la clôture (un des côtés du triangle qui s'appuie sur le mur) la valeur 3.27m (AQ)
L'autre côté mesure donc 4,78m (10m de clôture en tout).

Ici aussi, en déplaçant (sur trace en poche) le point P, on peut faire varier l'ange en A.

On voit que, comme pour l'exemple précédent, l'aire du triangle commence par augmenter, puis diminue progressivement jusqu'à devenir voisin de zéro.

On constate également que la valeur maximale obtenue est inférieure à celle du choix précédent.

En fait, la valeur maximale est obtenue pour une figure symétrique (on s'y attend un peu puisqu'il s'agit d'un maximum)
Et donc pour AQ = QD = 5m.

Pour rechercher ce maximum de l'aire, je te propose de recopier le script ci dessous dans Trace En Poche :

	@figure;
	A = point( -5 , 6 ) { fixe }; B = point( 5 , 6 ) { fixe }; sAB = segment( A , B ) { sapin , 3 }; ceAB = cercle( A , B ) { bleuciel }; P = pointsur( ceAB , 356.94 ); dAP = droite( A , P ) { bleuciel }; sAP = segment( A , P ); Q = pointsur( dAP , 0.33 ); ceAQ = cercle( A , Q ) { bleuciel }; C = intersection( sAB , ceAQ , 1 ) { sansnom }; C1 = intersection( sAB , ceAQ , 2 ); ceQP = cercle( Q , P ) { bleuciel }; D = intersection( sAB , ceQP , 1 ) { sapin }; D1 = intersection( sAB , ceQP , 2 ) { sansnom }; sQD = segment( Q , D ) { sapin , 3 }; sAQ = segment( A , Q ) { sapin , 3 }; sAD = segment( D , Q ) { sapin , 3 }; sDB = segment( D , B );

	(dans la fenêtre Analyse, les formules qui donnent les mesures et notamment celle de l'aire du triangle)
	aire(ADQ) = AQ = QD = périmètre(ADQ) =
	Il faudra ensuite cliquer sur le sigma majuscule (S grec) pour obtenir ces mesures

Surprise, la valeur maximale est celle que l'on obtient pour le plus grand des rectangles (voir Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée)

Et dans le cas du triangle, les poules ont un plus grand périmètre disponible !
(bien évidement, la partie qui donne sur un espace visible reste la même puisqu'il s'agit des 10 m de clôture, le reste étant en appui sur le mur)

Pour calculer ce périmètre, puisque l'angle en A sera connu (si tu me le proposes en commentaire, je confirmerai éventuellement), on pourra utiliser les rapports trigonométriques*.

dans le triangle AHQ, dès lors qu'on a déterminé l'angle qui correspond à l'aire la plus grande, on peut se servir du cosinus de l'angle en A
(rapport du côté adjacent à l'angle, sur l'hypoténuse AQ du triangle)

Comme dit si bien le manuel sésamath : ATDJ*

____________
A Toi De Jouer

* Chapitre du manuel sésamath pour une petite révision :
Sur Math en Poche : G2 : Trigonométrie

Sur le matou matheux : La trigonométrie

Par Comeau-Montasse - Publié dans : Geombre - Communauté : Mathématiques
Ecrire un commentaire - Voir les 0 commentaires - Partager

Précédent : Nombre du jour : 23022009 Retour à l'accueil Suivant : Les maths une prise de tête ?

GEOMétrie et noMBRE

Sesamath

Calendrier

Syndication

flèches vers

Sommaire général de
Maths en Poche 6ème

Sommaire général de
Maths en Poche 5ème

Sommaire général de
Maths en Poche 4ème

Sommaire général de
Maths en Poche 3ème

Une des raisons d'enseigner

Les bonnes adresses ...

Lexique

Animations

Statistiques

Des rubriques et des lieux

Brevet des Collèges (DNB)

Commentaires

Outils

Revues

Maths en Poche - troisièmes

Physique Chimie

Blog d'élève

Articles récents

Recherche

Catégories

Archives

Pédagogie

Anciennes photographies