Géométrisation de l'Algorithme d'Euclide

Dimanche 15 mars 2009 7 15 /03 /2009 10:27

Géométrisation de l'Algorithme d'Euclide

On peut caractériser deux nombres par un rectangle
dont la longueur est l'un des deux et la largeur l'autre.

Chercher le plus grand diviseur commun à ces deux nombres revient alors - sans calcul - à exécuter la construction suivante :

On reporte la largeur sur la longueur, ce qui définit un nouveau rectangle sur lequel le même procédé est reproduit.

Lorsqu'on obtient un carré, son côté donne la valeur du PGCD c'est à dire du plus Grand Nombre qui Divise à la fois la longueur et la lageur.

On voit ici directement ce qui est souvent donné comme une illustration de l'Algorithme d'Euclide, à savoir la dimension du plus grand carreau que l'on peut utiliser pour carreler une pièce de longueur et largeur donnée.

Sur l'exemple donné, on voit que le PGCD de 6 et 10 est 2 en même temps que le carreau correspondant.

Autres exemples*

On voit ici que les deux nombres correspondants aux dimensions de ces deux rectangles sont premiers entre eux.

Ici le résultat donne PGCD (10,8) = 2

On peut également utiliser ce type de construction pour démontrer l'incommensurabilité du côté du carré et de sa diagonale.
(c'est à dire "on ne peut pas trouver de fraction qui, multipliée par la longueur du côté donne la longueur de la diagonale. Ces longueurs n'ont "aucune commune mesure" elles sont "incommensurables" (on ne peut les mesurer ensembles)

Mais cela, c'est une autre histoire ...

...

* Merci de l'indulgence pour ces dessins à main levée.
Ils ont été fait sur la table d'une terrasse de café, alors que je ne savais pas encore que tout était écrit ici ( ma femme me demandait en regardant ces figures à quoi elles pouvaient bien servir (sourire)²) et que cela se nommait Anthyphérèse.

Par Comeau-Montasse - Publié dans : Geombre - Communauté : Mathématiques
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