Démontrer - conclure à partir de ce que l'on sait ... sens en ajouter

La principale difficulté en géométrie provient de la figure elle-même.

Il est difficile de "ne pas croire ses yeux"
et donc de ne pas conclure à partir de ce que l'on croit voir
et qui devient souvent ce que l'on croit.

Illustrons cela d'un exemple

énoncé	figure

O est le centre du cercle A, B, C et D sont des points du cercle A, O et C sont alignés.

	Question
	Nommer tous les triangles particuliers de la figure et démontrer qu'ils le sont.

A regarder la figure, sans la lier à l'énoncé (aux contraintes de l'énoncé) on dira assez facilement que AOB est un triangle équilatéral.

Pour se persuader que ce n'est pas le cas, une figure dynamique peut aider.

On sait que A,B,C et D sont des points du cercle de centre O et la seule contrainte supplémentaire est que A, O et C sont alignés.

Il n'est donc pas interdit de déplacer les points sans contrainte, c'est à dire C et B.

En déplaçant B, on obtient successivement la figure

Où l'on peut avoir un premier doute concernant l'égalité de AB et OB,
puis la figure

Où c'est encore plus net.

Bien sur, la figure ne sert ici qu'à aider la compréhension à intégrer les différentes parties de l'énoncé.
Et notamment à voir que rien n'impose que AB soit égal à OB.

Cela ne remplace pas la compréhension, mais facilite le détachement par rapport à une figure qui fait croire plus qu'il n'y a dans l'énoncé.

Pour réaliser ceci, on peut utiliser Trace en poche avec le script que j'ai placé à côté de la figure.

	Figure		Script
			O = point( -0.8 , 0.57 ); A = point( 6.2 , 1.8 ); ceOA = cercle( O , A ); C = symetrique( A , O ); B = pointsur( ceOA , 65.81 ); D = pointsur( ceOA , 309.81 ); sCA = segment( C , A ); sBA = segment( B , A ); sBC = segment( B , C ); sCD = segment( C , D ); sDA = segment( D , A ); sBD = segment( B , D ); E = intersection( sBD , sCA ); sOD = segment( O , D ); sOB = segment( O , B );

En déplaçant les points B et D on verra mieux :
quels sont les triangles isocèles
(parce que deux de leurs côtés sont des rayons du cercles et sont donc égaux)
quels sont les triangles rectangles
(parce qu'ils sont "inscrits dans un cercle et qu'un de leurs côtés en est un diamètre)*

Rappel de la propriété utilisée ici, sur le manuel Sesamath

cliquer pour voir la méthode avec l'exemple et l'exercice d'application

Quelques exercices en rapport avec ce thème sur Maths En Poche

Exercices de démonstrations

Sesamath quatrième démontrer qu'un triangle est rectangle

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