GEOMétrie et noMBRE

Jusqu'à présent je n'ai pas encore montré comment on forme de véritables notions à l'aide d'idées qui ne sont pas abstraites de l'expérience, mais que l'esprit porte en lui, comme on dit, à priori et qui, quoique très simples, sont cependant les idées fondamentales, propres à déterminer tous les objets dans leur nature intime, et paraissent ainsi être dans l'esprit les reflets idéels, les types fondamentaux, d'après lesquels tout a été organisé dans la nature.

Je pourrais montrer l'application de ces idées dans toutes les sciences, mais comme dans la plupart des sciences les faits mêmes qu'où veut expliquer, sont encore contestés, je vais choisir la science des mathématiques, où les faits sont certains, et choisir des exemples, qui peuvent être immédiatement compris.

De toutes les sciences, les mathématiques se prêtent le moins aux notions abstraites , néanmoins elles y existent aussi, et quoiqu'elles aient dans ce domaine un caractère plus général, elles sont loin, de déterminer la nature des objets.

Prenons les notions les plus simples, celles de ligne, de ligne droite, courbe, cercle, ovale, etc. Quelle définition donne-t-on ordinairement de la ligne droite ?

On dit : la ligne droite est le chemin le plus court pour arriver d'un point à un autre.

Il n'y a pas ici l'ombre d'une définition de la qualité d'être droite considérée en elle-même.

Voyons quelles ressources nous fournissent les idées générales. Nous avons vu dans la séance précédente que l'esprit possède originairement les idées d’unité, d'identité, de diversité etc. Ces idées, quoiqu'en petit nombre, nous suffissent déjà, pour déterminer les objets en question ; nous avons seulement à les appliquer à la notion de l'espace, qui est l'expansion de la nature en trois directions.

C'est de la combinaison différente de ces trois directions que résultent toutes les figures géométriques ; mais cette combinaisons doit être faite méthodiquement, par l'application des idées de l’identité et de la diversité.

L'identité est dans l'ordre de ces idées la première. Or qu'est ce que l’identité de direction dans L'espace? C'est précisement la ligne droite; ligne en général est direction dans l'espace, ligne droite est toujours la même direction, par conséquent l'identité de la direction.

Voilà une notion positive, et la première notion positive qui ait été donnée d'une ligne droite, et l'ait déterminée en elle-même.

Pourquoi aucun géomètre ne s'est-il avisé de donner une définition si simple ?  C'est parce que les mathématiciens, n'ayant pas foi dans les idées philosophiques , veulent tout déterminer par l'observation, qui les conduit alors à des définitions aussi étranges que celle qu'ils ont donnée de la ligne droite. Mais poursuivons : nous avons à appliquer également la seconde idée, celle de la diversité à la direction dans l'espace. Or de cette combinaison résulte la ligne courbe, qui est la diversité ou le changement continuel de direction.

Mais il y a beaucoup d'espèces de lignes courbes, depuis le cercle jusqu'aux courbes les plus composées ; comment déterminer toutes ces différences par nos idées fondamentales ?

La méthode est fondée sur la règle philosophique suivante, que je puis ici seulement énoncer ; que ces idées, quelques hétérogènes qu'elles paraissent être entre elle, doivent être réciproquement combinées l'une avec l'autre.

Que résulte-t-il de l'application tic l'identité à la diversité dans l'objet que nous nous proposons? C'est qu'il y a des lignes courbes, dont la courbure, c'est-à dire, la diversité de direction dans l'espace est toujours la même, identique. Ces lignes courbes dont la courbure est toujours la même, égale, identique sont celles qu'on appelle cercle, et il en résulte comme conséquence, que tous les points de la courbure sont également éloignés d'un point donné. Quand donc la définition ordinaire définit le cercle ; une ligne, dont tous les points sont également éloignés d'un point donné , elle ne détermine nullement en quoi consiste la courbure , mais elle prend ce qui n'en est qu'une conséquence pour le principal caractère du cercle.

Maintenant après avoir combiné l'identité avec la diversité de direction dans l'espace, nous avons à appliquer la diversité elle-même à cette diversité, ce «qui constitue une diversité à la seconde puissance. Il en résulte la ligne , dont la courbure est, non pas égale, mais toujours différente , changeante ; telle est par exemple la ligne spirale. Mais les sous-divisions de la ligne courbe vont à l'infini , en constituant des degrés toujours plus compliqués de courbure , déterminés par les combinaisons incessantes des idées de l'identité et de la diversité. Il est à remarquer que la division est toujours faite en deux termes, dont le premier n'admet pas de nouvelle division , étant constitué par l'idée d'identité, mais dont le second a toujours deux sous-divisions, selon que la diversité même est égale , identique , ou différente.

Ainsi la ligne en générale se divise en ligne droite et courbe. La ligne droite n'a pas de sous-division; la ligne courbe en a deux formées par l'identité ou la différence de courbure.

Le premier terme est le cercle , qui n'a pas de sous-divisions, mais le second terme en a deux, dont le premier est constitué par la ligne spirale, qui a toujours la mémo diversité dans sa courbure.

La spirale n'a pas de sous-division , mais bien l'autre terme , dont la première sous-division constitue la ligne orale, et ainsi de suite. C'est de cette manière, qu'on peut former le véritable système des courbes, système que les mathématiciens ne connaissent pas encore, parce qu'ils continuent à suivre la mauvaise méthode, de baser leur théorie sur des notions confuses, tirée de l'expérience par abstraction.

Il est vraiment étonnant qu'aucun des géomètres qui se disent en même temps philosophes, n'ait essayé, d'appliquer aux mathématiques ces idées fondamentales, déjà connues dans la philosophie sous le nom de catégories depuis Aristote.