Fonction - Aire variable de deux figures liées - triangle et carré

(en matière de correction du travail fait en classe, pour ceux qui ont été jusqu'au bout de l'activité proposée)

ABEF et BEDC sont des carrés de 1m de côté.

Le point P est mobile sur le segment [AB] et l'on nomme x la distance AP.

GB = PB , PBG est donc un triangle isocèle rectangle

HI = IP' = P'B = BH , HIP'B est donc un carré.

On étudie l'aire (variable) de ces deux figures
et en particulier la valeur de x pour laquelle leurs aires sont égales.

Dans la fenêtre d'analyse de Trace En Poche, on peut voir que cette égalité est obtenue pour une valeur de x comprise entre 4 et 5.

Une étude des formules associées aux aires de ces deux figures permet de calculer plus précisément la valeur de x recherchée.

(Ce sont toutes les deux des "fonctions" qui font correspondre au nombre x, l'une l'aire du triangle et l'autre celle du carré)

Puisque le triangle a pour base et pour hauteur 1- x (en mètre)
d'ou la valeur de son aire ...

Quant au carré, son côté vaut x (en mètre)
d'où la mesure de son aire ...

L'égalité est donc obtenue lorsque ces deux formules donnent le même résultat.

Ce qui conduit à l'égalité ...

Une étude avec excel des valeurs que l'on obtient donne le tableau suivant

Tableau auquel correspondent les trois graphiques qui permettent de visualiser la variation de l'aire du triangle, du carré et de leur somme, en fonction de x .

On voit qu'il ne s'agit pas du tout d'une situation de proportionalité et donc d'une fonction qui n'est pas linéaire, (elle n'est pas non plus affine, puisque c'est une courbe). .

On peut obtenir bien mieux si l'on utilise un véritable traceur de courbe, à partir de l'expression qui donne l'image de x pour chacune des trois fonctions et qui est assez facile à déterminer d'après ce qu'on a dit des deux figures.

On voit bien mieux ici la valeur minimale pour l'aire totale (entre 3,25 et 3,5)
ainsi que celle pour laquelle l'aire du triangle est égale à celle du carré.

Tu trouveras un grapheur multifonction (permettant de tracer plusieurs courbes en même temps) en cliquant sur ce graphique.

Pour avoir une idée encore plus précise de la valeur pour laquelle les deux aires sont égales, tu peux demander à un outil de Wims de te calculer la valeur minimale que prends la différence de ces deux aires.

C'est ce qui a été fait ci-dessous.

On voit que la valeur approchée de x pour laquelle la différence des aires est nulle (et donc pour laquelle elles sont égales) est 0,414 (au millième près.)

Pour le voir par toi même, clique sur la figure

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