Triangle et parallélisme (proportionnalité) - quatrième - Introduction au "théorème de Thales"

A partir d'un triangle, tu as vu en cinquième qu'en construisant le symétrique d'un des sommets par rapport au milieu du côté opposé, tu obtenais un point

D est le milieu de [BC]

A' est le symétrique de A par rapport à D

qui te permet de construire un second triangle (symétrique du premier par rapport ) l'ensemble constituant un quadrilataire particulier : le parallèlogramme.

Si tu reproduis ce prodédé deux fois (de plus) à la manière de l'animation ci-dessous, tu obtiendras en tour quatre triangles qui formeront un grand triangle dont les dimensions sont proportionnelles au triangle que de départ.

Proportionnalité très particulière, puisqu'ici le coefficient est 2.

Le second triangle est deux fois plus grand (du point de vue de ses côtés)
que le premier.

Les considérations qui précèdent montrent que du point de vue de son aire, ce second triangle est ... fois plus grand que le premier (réponse en commentaire si tu désires vérifier ce que tu penses)

Cette proportionnalité n'est pas très difficile à démontrer lorsqu'on connait les propriétés de la symétrie centrale et du quadrilatère qui possède un centre de symétrie (le parallélogramme,)

Ici, des parallélogrammes, du fait même de la construction de la figure, il y en a trois.
Ils te permettent de déduire assez facilement

que
AC' = 2AB
AB' = 2AC
B'C' = 2BC

c'est à dire que les côtés de AC'B' ont une longueur double
des côtés correspondants de ABC

Mais aussi que
les angles de ABC et ceux de AC'B'
sont respectivement égaux.
Avec comme conséquence que
les côtés [AB'] et [BA'] sont parallèles
de même que [BC] et [B'C']
ainsi que
[AC'] et [A'C]

Remarque : la figure est assez facile à réaliser avec Trace En Poche ... ici Utiliser Trace en poche en ligne

Lien avec le manuel Sesamath

montrer que des droites sont parallèles par vous

si tu désires accéder à la méthode complête, clique sur l'image ci-dessus

Pour faire quelques démonstrations utilisant cette propriété remarquable,
je te propose un très bon exercice d'entrainement sur Amicollège

(un exemple d'exercice est donné par l'illustration ci-dessous)

clique sur l'image pour accéder à la page qui permet de générer ce type d'exercices

La rédaction définitive de cette déonstration ici

Si ce type d'exercice est trop difficile pour toi, sur Maths En Poche tu peux faire un travail du même genre, mais qui est plus guidé.

$propriété de la droite des milieux dans un triangle rectangle - http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/geometrie/chap2/serie2/exo5/G2s2ex5.swf- geombre.com$

Même travail mais à partir d'une démonstration en morceaux (organigramme)

Des exercices (version papier) sur Maths en ligne

(cliquer puis demander le chapitre concerné : 4ème géométrie 4G2 )

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