GEOMétrie et noMBRE

Soit le triangle ABC

Nous nous proposons de montrer que la somme de ses trois angles fait un angle plat.

Tout d’abord plaçons le point I milieu de AC, puis D le symétrique de B par rapport à I.

La symétrie étant une transformation qui conserve les distances et les angles, on en déduit un certain nombre d’égalités :

Remarquons d’abord que

D est le symétrique de B par rapport à I

et  que

A est le symétrique de C par rapport à I

Ainsi, le segment qui joint B à C et celui qui joint A à D sont donc symétriques.

D’après la propriété énoncée précédemment concernant la symétrie :

Le côté qui joint B à C est de même longueur que celui qui joint A à D.

Pour la même raison

Le côté qui joint D à C est de même longueur que celui qui joint A à B.

Les triangles ABC et ADC sont donc égaux puisque leurs côtés trois côtés sont respectivement égaux (le troisième dont nous n’avons pas parlé est commun aux deux triangles)

Il est donc possible d’en déduire un certain nombre d’égalités concernant les angles de ces deux triangles, et en particulier que :

l'angle formé par les demi-droites d’origine C et passant respectivement par A et B

et l’angle formé par les demi-droites d’origine A et passant respectivement par D et B sont égaux.

De même pour

l'angle formé par les demi-droites d’origine C et passant respectivement par A et D

et l’angle formé par les demi-droites d’origine A et passant respectivement par C et B sont égaux.

Par ailleurs, le côté qui joint D à C et celui qui joint A à B étant parallèles - la symétrie centrale (rotation de 180°)  conserve les directions – l’angle supplémentaire à l’angle formé par les demi-droites d’origine A et passant respectivement par D et B, correspondant de l’angle formé par les demi-droites d’origine C et passant respectivement par D et B, lui est donc égal.

On voit donc qu’en A trois angles s’additionnent pour faire un angle plat et que ces angles sont respectivement égaux aux trois angles du triangle ABC.

Nous avons choisi notre triangle tout à fait quelconque, et donc nous pouvons en déduire que cette propriété est vraie pour n’importe quel triangle :