GEOMmétrie et nOMBRE

A propos de la démonstration que je donnais comme l'une des plus simples en géométrie (tout en produisant un résultat utile et (apparemment) loin des données de départ), Valentine retournait en commentaire

  moi pour les démonstrations ma prof me fait utiliser:
"Je sais que" (on met les informations)
"Or" (on met la propriété)
"Donc" (on met la conclusion)

c'est bien utile parfois !        

Bien évidemment, son professeur a tout à fait raison.

Cette manière de ranger les étapes de la réflexion est à la fois commode et fertile.

C'est pour cette raison qu'il faut toujours s'efforcer d'y faire entrer la rédaction finale.

Cependant, dans une phase de découverte et de recherche, il peut être difficile de faire ce tri, notamment entre les deux dernières phases
"ce que j'utilise comme outil (propriété) pour transformer l'énoncé vers la conclusion"
et
"la conclusion elle-même"

D'autant que, parfois il y a des étapes qui sont intermédiaires entre les deux.

Mais lorsqu'on peut, c'est ainsi qu'il faut procéder
avec parfois un assouplissement du vocabulaire qui permet un enrichissement de la syntaxe utilisée (comme des mots comme  "d'où je déduis" qui peut concerner une conclusion intermédiaire)

Comme je l'annonçais dans le titre, pour faire plaisir à Valentine, je vais reformuler avec les mots qu'elle proposait la démonstration qui concerne la médiane et l'aire des deux triangles qu'elle détermine.

D'après l'énoncé, je sais que (AI) est la médiane de [BC]
or la médiane passe par le milieu d'un côté
donc  BI = IC

(en fait il y a ici une petite démonstration intermédiaire avec ses trois temps)

Je sais que AH est la hauteur (longueur) associée au côté [BC]
or la hauteur est 
une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé
donc
AH est aussi hauteur des triangles AIB et AIC.

(en fait il y a ici une seconde démonstration intermédiaire avec ses trois temps)

Je sais que l'aire d'un triangle est côté x hauteur / 2
  d'où (ici ce n'est pas une démonstration, juste une sorte d'application d'un résultat)
l'aire de AIB est AH x IB / 2
et
l'aire de AIC est AH x IC / 2
or IB = IC
donc
ces deux aires sont égales.
donc
La médiane d'un triangle le partage en deux parties de même aire.

Il y existe des démonstrations plus courtes et plus simples, mais en général il y a si peu de distance de la situation de départ à la conclusion que l'élève se demande souvent "qu'est-ce qu'on a démontré ?" ou "pourquoi on a fait tout ça ?" (puisque cela lui semblait évident dès le début)
Ici, le point de départ
(AI) est une médiane du triangle ABC
et le point d'arrivée
les triangles AIB et BIC ont la même aire (en deux mots (sourire)²)
sont assez loin l'un de l'autre pour justifier le parcours déductif de la démonstration.